Родился 8 февраля 1933 в Ленинграде — советский композитор-песенник, поэт.

Мать играла на фортепиано и все дети получили начальное музыкальное образование, но музыкальной школы будущий композитор так и не окончил.

Учился на санитарно-техническом факультете Ленинградского инженерно-технического института (ЛИСИ), где подружился с Евгением Клячкиным и Михаилом Бутманом

(для последнего были написаны все ранние песни Б. Л. Потёмкина), участвовал в художественной самодеятельности. Сотрудничал с Эдитой Пьехой.

После окончания института работал инженером в Ленпроекте и Ленжилпроекте, писал стихи и продолжал участвовать в самодеятельности и институтских капустниках.

В 1965 году им была написана песня "Наш сосед", первым исполнителем которой стал Михаил Бутман.

В 1967 году Борис Потёмкин передал эту и ещё одну песню Александру Броневицкому, и её вскоре начала исполнять Эдита Пьеха.

Через некоторое время песня "Наш сосед" в исполнении Эдиты Пьехи была выпущена миньоном на фирме грамзаписи "Мелодия" (1967).

Следующим шлягером Бориса Потёмкина стала песня "Выходной" в исполнении Нины Бродской.

За ней последовали "Рыжий парень" в исполнении Леонида Алахвердова и ансамбля "Дружба" под управлением Александра Броневицкого,

"Наташка" в исполнении Эдиты Пьехи.

Песни композитора исполняли Вадим Мулерман, Лариса Мондрус, Алла Иошпе и наконец он стал выступать на эстраде как автор-исполнитель.

После исполнения в его программе Евгением Клячкиным одной из своих песен, Потёмкин был уволен из проектного института и выступал под эгидой Ленинградской филармонии.

После отъезда старшего брата в США в 1973 году его уволили и из Ленконцерта.

Некоторое время работал в Союзе драматургов, затем директором Дома народного творчества на ул. Рубинштейна,

Организовал клуб самодеятельной песни (Городской клуб песни под руководством Б. Потёмкина).